04_寻找两个正序数组的中位数
题目描述
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。
英文版：Given two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively, return the median of the two sorted arrays.The overall run time complexity should be O(log (m+n))
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
方法一：二分查找
给定两个有序数组，要求找到两个有序数组的中位数，最直观的思路有以下两种：
使用归并的方式，合并两个有序数组，得到一个大的有序数组。大的有序数组的中间位置的元素，即为中位数。
不需要合并两个有序数组，只要找到中位数的位置即可。由于两个数组的长度已知，因此中位数对应的两个数组的下标之和也是已知的。维护两个指针，初始时分别指向两个数组的下标 00 的位置，每次将指向较小值的指针后移一位（如果一个指针已经到达数组末尾，则只需要移动另一个数组的指针），直到到达中位数的位置。
假设两个有序数组的长度分别为 mm 和 nn，上述两种思路的复杂度如何？
第一种思路的时间复杂度是 O(m+n)O(m+n)，空间复杂度是 O(m+n)O(m+n)。第二种思路虽然可以将空间复杂度降到 O(1)O(1)，但是时间复杂度仍是 O(m+n)O(m+n)。
如何把时间复杂度降低到 O(\log(m+n))O(log(m+n)) 呢？如果对时间复杂度的要求有 \loglog，通常都需要用到二分查找，这道题也可以通过二分查找实现。
根据中位数的定义，当 m+nm+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2(m+n)/2 个元素，当 m+nm+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2(m+n)/2 个元素和第 (m+n)/2+1(m+n)/2+1 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 kk 小的数，其中 kk 为 (m+n)/2(m+n)/2 或 (m+n)/2+1(m+n)/2+1。
假设两个有序数组分别是 \text{A}A 和 \text{B}B。要找到第 kk 个元素，我们可以比较 \text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 和 \text{B}[k/2-1]B[k/2−1]，其中 // 表示整数除法。由于 \text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 和 \text{B}[k/2-1]B[k/2−1] 的前面分别有 \text{A}[0,..,k/2-2]A[0..k/2−2] 和 \text{B}[0,..,k/2-2]B[0..k/2−2]，即 k/2-1k/2−1 个元素，对于 \text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 和 \text{B}[k/2-1]B[k/2−1] 中的较小值，最多只会有 (k/2-1)+(k/2-1) \leq k-2(k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，那么它就不能是第 kk 小的数了。
因此我们可以归纳出三种情况：
如果 \text{A}[k/2-1] < \text{B}[k/2-1]A[k/2−1]<B[k/2−1]，则比 \text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 小的数最多只有 \text{A}A 的前 k/2-1k/2−1 个数和 \text{B}B 的前 k/2-1k/2−1 个数，即比 \text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 小的数最多只有 k-2k−2 个，因此 \text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 不可能是第 kk 个数，\text{A}[0]A[0] 到 \text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 也都不可能是第 kk 个数，可以全部排除。
如果 \text{A}[k/2-1] > \text{B}[k/2-1]A[k/2−1]>B[k/2−1]，则可以排除 \text{B}[0]B[0] 到 \text{B}[k/2-1]B[k/2−1]。
如果 \text{A}[k/2-1] = \text{B}[k/2-1]A[k/2−1]=B[k/2−1]，则可以归入第一种情况处理。
